Konsep Dasar Turunan Fungsi Aljabar - Matematika Wajib Kelas XI
Pada kurikulum 2013 revisi, materi mengenai turunan atau diferensial dipelajari di kelas XI dan kelas XII. Di kelas XI, materi turunan di berikan pada matematika wajib namun sebatas turunan fungsi aljabar, sementara untuk turunan fungsi trigonometri diberikan di kelas XII pada matematika peminatan.
Pada tulisan ini, saya hanya memaparkan turunan fungsi aljabar yang dipelajari di kelas XI matematika wajib. Silakan anda pelajari dengan baik karena materi turunan ini akan sangat membantu kita seperti untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar dengan dalil L'Hopital, menentukan puncak suatu fungsi kuadrat tanpa rumus, menentukan gradien.
Berikut ini konsep dasar matematika mengenai materi turunan
Definisi Turunan
Misalkan $y$ adalah fungsi dari $x$ atau $y=f(x)$. Turunan dari $y$ terhadap $x$ dinotasikan dengan $f'(x)$ atau $y'$ atau $\displaystyle\frac{dy}{dx}$, didefinisikan sebagai berikut:
$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Rumus Turunan & Contoh
Menyelesaikan turunan suatu fungsi khususnya fungsi aljabar dengan menggunakan definisi akan menghabiskan waktu yang cukup lama dan rumit. Berikutnya, kita akan menentukan turunan atau diferensial suatu fungsi dengan menggunakan beberapa rumus yang tentunya rumus tersebut diperoleh dengan menjabarkan definisi turunan secara umum. Berikut ini beberapa rumus yang peru diingat dan perlu dipahami:
1) Jika $y=c$ dengan $c$ konstanta real, maka $y'=0$
2) Jika $y=ax^n$ dengan $a$ dan $n$ anggota bilangan real, maka $y'=an x^{n-1}$
3) Jika $y=u\pm v$ dengan $u$ dan $v$ merupakan fungsi, maka $y'=u'\pm v'$
4) Jika $y=u.v$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi, maka $y'=u'v+uv'$
5) Jika $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi, maka $\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
Contoh 2
Tentukan turunan pertama dari $y=7$
Jawab:
Berdasarkan rumus pertama di atas, turunan pertama dari suatu konstanta adalah $0$, maka:
$y=7\Rightarrow y'=0$
Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari $y=6x^3$
Jawab:
Dengan menggunakan rumus kedua, maka kita peroleh:
$\begin{align*}y'&=3.6x^{3-1}\\&=18x^2\end{align*}$
Contoh 4
Tentukan turunan pertama dari $y=2x^4+5x^2-7x+3$
Jawab:
$\begin{align*}y&=2x^4+5x^2-7x+3\\y'&=4.2x^{4-1}+2.5x^{2-1}-1.7x^{1-1}+0\\&=8x^3+10x-7\end{align*}$
Contoh 5
Tentukan turunan pertama $y=6\sqrt{x}+\frac{5}{x^2}+3$
Jawab
Sebelum kita turunkan, terlebih dahulu kita ubah dulu bentuknya menggunakan sifat-sifat eksponen
$\begin{align*}y&=6\sqrt{x}+\frac{5}{x^2}+3\\&=6x^{\frac{1}{2}}+5x^{-2}+3\\y'&=\frac{1}{2}.6x^{\frac{1}{2}-1}+(-2)(5)x^{-2-1}+0\\&=3x^{-\frac{1}{2}}-10x^{-3}\\&=\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}-\frac{10}{x^3}\\&=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{10}{x^3}\end{align*}$
Contoh 6
Tentukan turunan pertama dari $y=x^3(x^2+6)$
Jawab:
Cara menentukan turunan/diferensial yang memuat perkalian dua buah fungsi kita gunakan rumus ke $4$ yaitu $\displaystyle y=u.v\Rightarrow y'=u'v+uv'$
untuk fungsi $y=x^3(x^2+6)$ kita misalkan $u=x^3$ dan $v=x^2+6$ maka $u'=3x^2$ dan $v'=2x$, dengan demikian maka:
$\begin{align*}y'&=(3x^2)(x^2+6)+(x^3)(2x)\\&=3x^4+18x^2+2x^4\\&=5x^4+18x^2\end{align*}$
Contoh 7
Tentukan turunan pertama dari $\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$
Jawab:
Cara menentukan turunan suatu fungsi yang memuat pembagian dua buah fungsi seperti soal di atas, kita gunakan rumus ke $5$ yaitu $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ maka $\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
Untuk fungsi $\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$ kita buat pemisalan
$u=x\Rightarrow u'=1$
$v=x^2+1\Rightarrow v'=2x$
$\begin{align*}y'&=\frac{(1)(x^2+1)-(x)(2x)}{(x^2+1)^2}\\&=\frac{x^2+1-2x^2}{x^4+2x^2+1}\\&=\frac{-x^2+1}{x^4+2x^2+1}\end{align*}$
Lihat juga: Download Soal Limit Fungsi Aljabar
Aturan Rantai & Contoh
Misalnya $y=f\left(g(x)\right)$ atau $y=\left(f\circ g\right)(x)$ dengan $f$ dan $g$ merupakan fungsi-fungsi dalam variabel $x$ yang memiliki turunan. Turunan $y$ adalah
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:
Contoh 8
Tentukan turunan pertama dari $y=(x^2+3x-5)^{10}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=(x^2+3x-5)^{10}\\y'&=10(x^2+3x-5)^{10-1}\times(2x+3)\\&=10(x^2+3x-5)^9\times(2x+3)\\&=(20x+30)(x^2+3x-5)^9\end{align*}$
Contoh 9
Tentukan turunan pertama dari $y=\sqrt{x^3+2x}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=\sqrt{x^3+2x}\\y&=(x^3+2x)^{\frac{1}{2}}\\y'&=\frac{1}{2}(x^3+2x)^{-\frac{1}{2}}(3x^2+2)\\&=\frac{3x^2+2}{2(x^3+2x)^{\frac{1}{2}}}\\&=\frac{3x^2+2}{2\sqrt{x^3+2x}}\end{align*}$
Demikianlah konsep matematika tentang turunan atau diferensial, untuk latihan silakan download soal turunan fungsi aljabar disini . Namun, jika anda masih belum paham sebaiknya lihat video pembahasan turunan fungsi aljabar berikut . Untuk soal online, silakan kunjungi laman ini
Contoh 1
Jika diberika $y=6x+1$, maka tentukanlah turunan $y$ terhadap $x$
Jawab:
$\begin{align*}y'&=\lim_{h\to 0}\frac{6(x+h)+1-(6x+1)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{6x+6h+1-6x-1}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{6h}{h}\\&=\lim_{h\to 0} 6\\&=6\end{align*}$
Rumus Turunan & Contoh
Menyelesaikan turunan suatu fungsi khususnya fungsi aljabar dengan menggunakan definisi akan menghabiskan waktu yang cukup lama dan rumit. Berikutnya, kita akan menentukan turunan atau diferensial suatu fungsi dengan menggunakan beberapa rumus yang tentunya rumus tersebut diperoleh dengan menjabarkan definisi turunan secara umum. Berikut ini beberapa rumus yang peru diingat dan perlu dipahami:
1) Jika $y=c$ dengan $c$ konstanta real, maka $y'=0$
2) Jika $y=ax^n$ dengan $a$ dan $n$ anggota bilangan real, maka $y'=an x^{n-1}$
3) Jika $y=u\pm v$ dengan $u$ dan $v$ merupakan fungsi, maka $y'=u'\pm v'$
4) Jika $y=u.v$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi, maka $y'=u'v+uv'$
5) Jika $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ dengan $u$ dan $v$ suatu fungsi, maka $\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
Contoh 2
Tentukan turunan pertama dari $y=7$
Jawab:
Berdasarkan rumus pertama di atas, turunan pertama dari suatu konstanta adalah $0$, maka:
$y=7\Rightarrow y'=0$
Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari $y=6x^3$
Jawab:
Dengan menggunakan rumus kedua, maka kita peroleh:
$\begin{align*}y'&=3.6x^{3-1}\\&=18x^2\end{align*}$
Contoh 4
Tentukan turunan pertama dari $y=2x^4+5x^2-7x+3$
Jawab:
$\begin{align*}y&=2x^4+5x^2-7x+3\\y'&=4.2x^{4-1}+2.5x^{2-1}-1.7x^{1-1}+0\\&=8x^3+10x-7\end{align*}$
Contoh 5
Tentukan turunan pertama $y=6\sqrt{x}+\frac{5}{x^2}+3$
Jawab
Sebelum kita turunkan, terlebih dahulu kita ubah dulu bentuknya menggunakan sifat-sifat eksponen
$\begin{align*}y&=6\sqrt{x}+\frac{5}{x^2}+3\\&=6x^{\frac{1}{2}}+5x^{-2}+3\\y'&=\frac{1}{2}.6x^{\frac{1}{2}-1}+(-2)(5)x^{-2-1}+0\\&=3x^{-\frac{1}{2}}-10x^{-3}\\&=\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}-\frac{10}{x^3}\\&=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{10}{x^3}\end{align*}$
Contoh 6
Tentukan turunan pertama dari $y=x^3(x^2+6)$
Jawab:
Cara menentukan turunan/diferensial yang memuat perkalian dua buah fungsi kita gunakan rumus ke $4$ yaitu $\displaystyle y=u.v\Rightarrow y'=u'v+uv'$
untuk fungsi $y=x^3(x^2+6)$ kita misalkan $u=x^3$ dan $v=x^2+6$ maka $u'=3x^2$ dan $v'=2x$, dengan demikian maka:
$\begin{align*}y'&=(3x^2)(x^2+6)+(x^3)(2x)\\&=3x^4+18x^2+2x^4\\&=5x^4+18x^2\end{align*}$
Contoh 7
Tentukan turunan pertama dari $\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$
Jawab:
Cara menentukan turunan suatu fungsi yang memuat pembagian dua buah fungsi seperti soal di atas, kita gunakan rumus ke $5$ yaitu $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ maka $\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
Untuk fungsi $\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$ kita buat pemisalan
$u=x\Rightarrow u'=1$
$v=x^2+1\Rightarrow v'=2x$
$\begin{align*}y'&=\frac{(1)(x^2+1)-(x)(2x)}{(x^2+1)^2}\\&=\frac{x^2+1-2x^2}{x^4+2x^2+1}\\&=\frac{-x^2+1}{x^4+2x^2+1}\end{align*}$
Lihat juga: Download Soal Limit Fungsi Aljabar
Aturan Rantai & Contoh
Misalnya $y=f\left(g(x)\right)$ atau $y=\left(f\circ g\right)(x)$ dengan $f$ dan $g$ merupakan fungsi-fungsi dalam variabel $x$ yang memiliki turunan. Turunan $y$ adalah
$y'=f'(g(x))\times g'(x)$
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:
Contoh 8
Tentukan turunan pertama dari $y=(x^2+3x-5)^{10}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=(x^2+3x-5)^{10}\\y'&=10(x^2+3x-5)^{10-1}\times(2x+3)\\&=10(x^2+3x-5)^9\times(2x+3)\\&=(20x+30)(x^2+3x-5)^9\end{align*}$
Contoh 9
Tentukan turunan pertama dari $y=\sqrt{x^3+2x}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=\sqrt{x^3+2x}\\y&=(x^3+2x)^{\frac{1}{2}}\\y'&=\frac{1}{2}(x^3+2x)^{-\frac{1}{2}}(3x^2+2)\\&=\frac{3x^2+2}{2(x^3+2x)^{\frac{1}{2}}}\\&=\frac{3x^2+2}{2\sqrt{x^3+2x}}\end{align*}$
Demikianlah konsep matematika tentang turunan atau diferensial, untuk latihan silakan download soal turunan fungsi aljabar disini . Namun, jika anda masih belum paham sebaiknya lihat video pembahasan turunan fungsi aljabar berikut . Untuk soal online, silakan kunjungi laman ini